Analisando a Definição de e

Examine o gráfico de .

> plot((1+1/x)^x,x=-10..10,y=-10..14);

Descreva o que acontece ao valor de y quando x aproxima-se de:

R: O valor de y aparece para aplainar em torno de 2.7 .

-

R: O valor de y aparece para aplainar em torno de 2.7 .

Baseado no gráfico acima, uma tabela com valores do domínio extendendo-se de -10.000 a 10.000 é apresentada abaixo:

-10000 y = 2.7184177550091246
-9591 y = 2.718423539671611
-9183 y = 2.7184298385778813
-8775 y = 2.7184367234867381
-8367 y = 2.7184442801705675
-7959 y = 2.7184526119875176
-7551 y = 2.7184618446498936
-7142 y = 2.718472132610096
-6734 y = 2.7184836677643762
-6326 y = 2.718496691541441

-5918 y = 2.718511511980541

-5510 y = 2.7185285284060154
-5102 y = 2.7185482679485236
-4693 y = 2.7185714411261097
-4285 y = 2.718599029185043
-3877 y = 2.7186324266310926
-3469 y = 2.7186736843763173
-3061 y = 2.7187259474819014
-2653 y = 2.7187942971012466
-2244 y = 2.7188875112817472
-1836 y = 2.7190221746743077
-1428 y = 2.7192338379881207
-1020 y = 2.7196149842176691
-612 y = 2.7205050875380161
-204 y = 2.7249716730804798
204 y = 2.7116518122868434
612 y = 2.7160652168541866
1020 y = 2.7169510657871583
1428 y = 2.7173310398919455
1836 y = 2.7175422208505187
2244 y = 2.7176766400758732
2653 y = 2.7177697138231527
3061 y = 2.7178379753341035
3469 y = 2.7178901795559938
3877 y = 2.717931396013483
4285 y = 2.7179647633948543
4693 y = 2.7179923288860666
5012 y = 2.7180154846937765
5510 y = 2.7180352105801489
5918 y = 2.7180522160757006
6326 y = 2.7180670276301315
6734 y = 2.7180800440931843
7142 y = 2.7180915731475852
7551 y = 2.7181018559675114
7959 y = 2.7181110842634895
8367 y = 2.7181194123357035
8775 y = 2.7181269657864875
9183 y = 2.7181338478868224
9591 y = 2.71814014433224745

10000 y = 2.7181459268249223

Baseado na tabela, descreva o que acontece ao valor de y quando x recebe valores grandes ou pequenos .

R: O valor de y aproxima-se de 2.71814.

O Maple aproxima o valor de e , em torno de 16 posições decimais como segue .

e = 2.7182818284590451

Compare a aproximação de e com os valores da tabela.

R: Os valores são muito fechados.

Um gráfico linha de é demonstrado abaixo adicionado ao gráfico .

> with(plots):

> plot({(1+1/x)^x,2.7},x=-6..6,y=-2..10);

Descreva a relação de um gráfico de linha para o gráfico original.

R: A linha aparece para ser a assímptota para curva original.

Analisando Transformações das Funções Exponenciais Naturais

Considere o gráfico de .

> plot(exp(x),x=-6..6,y=-10..30);

Explique o que acontece com o valor de y quando x for:

Valores muito grande.

R: O valor de y aumenta sem limite (aproxima-se do ).

Um valor de 0.

R: y é 1 quando x é 0.

Valores muito pequenos

R: O valor de y decresce e aproxima-se de 0.

Note no gráfico abaixo que foi adicionado ao gráfico de .

> plot({exp(-x),exp(x)},x=-4..4,y=0..20);

Discuta as similaridades e diferenças observadas nesses dois gráficos.

R: Os dois gráficos sao reflexos um do outro através do eixo y . Ambos os gráficos passam atraves do ponto (0, 1). O gráfico de está constantemente crescendo ao passo que está constantemente decrescendo.

Se qualquer assímptota existir, registre suas equações:

R: y = 0 é uma assímptota para ambas as curvas.

Examine abaixo os gráficos de três funções exponenciais naturais.

; ;

> plot({exp(x),exp(x)+3,exp(x)-2},x=-2..4,y=-4..14);

Descreva a transformação(ões) requerida(s) para obtermos os gráficos de e do gráfico de .

R: Mude o gráfico de 3 unidades acima.

R: Mude o gráfico de 2 unidades abaixo.

Considere os gráficos das seguintes funções exponenciais naturais:

; ;

> plot({exp(x),exp(x-1),exp(x+2)},x=-6..6,y=-10..30);

Descreva a transformação(ões) requerida(s) para obtermos os gráficos de e do gráfico de .

R: Mude o gráfico de para a direita 1 unidade para obter e para a esquerda 2 unidades para obter .

Compare os gráficos das três seguintes funções exponenciais naturais.

; ;

> plot({exp(x),exp(0.5*x),exp(2*x)},x=-3..3,y=0..10);

Descreva as similaridades e diferenças do gráficos de e com respeito ao gráfico de .

R: Todos os três gráficos passam através do ponto (0, 1) e sao funções crescentes.
O gráfico de é muito mais íngreme para x > 0 do que .

Aprofundando seus Conhecimentos

O efeito de A, B, C, e D no gráfico de pode ser observado selecionando um dos parâmetros A, B, C, ou D abaixo e escolhendo o comando animate .

> with(plots):

> animate(exp(x+t),x=-4..4,t=0..10);

O que acontece quando o valor de A muda?

R: A resposta irá variar, mas deve ser mencionada uma extensão vertical.

O que acontece quando o valor de B muda?

R: A resposta irá variar mas deve ser mencionada uma mudança na inclinação.

O que acontece quando o valor de C muda?

R: A resposta irá variar mas deve ser mencionada uma mudança horizontal.

O que acontece quando o valor de D muda?

R: A resposta irá variar mas deve ser mencionada uma mudança vertical.